התפלגות פואסון 

Poisson distribution          

מאפיינים

רוב הדוגמאות של התפלגות פואסון מתייחסות לאירועים (מופעים) המתרחשים לאורך זמן.

המשתנה המקרי הפואסוני סופר את מספר המופעים בפרק זמן נתון.

λ הוא קצב התרחשות האירועים בפרק הזמן, כלומר: ממוצע מספר האירועים הצפוי (תוחלת) בפרק הזמן הנבדק. 

התהליך של האירועים נקרא תהליך פואסון.

הערכים האפשריים של משתנה מקרי פואסוני :  0,1,2,…   (משתנה מקרי בדיד עם אינסוף ערכים אפשריים)

הפרמטר של ההתפלגות:     

\lambda

נהוג לסמן את הפרמטר באות היוונית למדא. הפרמטר מציין את קצב המופע, או במלים אחרות, את המספר הממוצע של אירועים המתרחשים ביחידת זמן.

למשל:  מספר המכוניות הנכנסות לתחנת שטיפה מתפלג פואסונית עם קצב של 5 מכוניות בשעה. המשמעות היא שבממוצע לאורך הרבה זמן שהתחנה עובדת, מספר המכוניות הנכנסות בשעה הוא בממוצע 5. מכאן ניתן להסיק כי קצב כניסת המכוניות בשלוש שעות הוא 15, וקצב כניסת המכוניות בדקה הוא 5/60, וכו׳.

כלומר: ניתן להתאים את הפרמטר לפי יחידת הזמן הרלוונטית.

סימונים:

X\sim\ P_{ois}(\lambda) \   \  \  \ \  X\sim\ P_o(\lambda) \ \  \ \ \ X\sim\ P(\lambda)

פונקציית ההסתברות:

P(X=k)=e^{-\lambda}\:\frac{\lambda^k}{k!}\;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k=0,1,2,\ldots\ \ \ 

התוחלת:

E\left(X\right)=\lambda

השונות:

Var\left(X\right)=\lambda

הקשר בין התפלגות מעריכית להתפלגות פואסונית

ישנם שני משתנים מקריים חשובים הקשורים לתהליך פואסוני (זרם אירועים פואסוני):

• המשתנה המקרי הפואסוני סופר את מספר האירועים המתרחשים בפרק זמן.
• המשתנה המקרי המעריכי (אקספונציאלי) מודד את משך הזמן בין אירועים עוקבים.

להלן טבלה עם ההבדלים בין שתי ההתפלגויות (פואסונית ומעריכית) בהקשר של תהליך פואסון:

התפלגות פואסונית נפוצה מאוד בתורת התורים. במודלים הפשוטים מניחים כי תהליך הגעת הצרכנים למערכת התור הוא תהליך פואסון. 

הקשר בין התפלגות פואסון להתפלגות בינומית

תזכורת: בהתפלגות בינומית מדובר במספר נתון של ניסויי ברנולי בלתי תלויים, כאשר ההסתברות להצלחה בכל ניסוי קבועה. המשתנה המקרי הבינומי סופר את מספר ההצלחות מתוך כלל הניסויים שבוצעו.

X\sim\ B(n, p)

כאשר מספר הניסויים גדול מאוד וההסתברות להצלחה בכל ניסוי קטנה מאוד, כך שמתקיים

np\approxeq\lambda

אז ההתפלגות הבינומית ״מתקרבת״ להתפלגות הפואסונית. כלומר ניתן להשתמש בהתפלגות הפואסונית כקירוב ולחשב הסתברויות עבור ההתפלגות הבינומית, כאשר הפרמטר להתפלגות הפואסונית הוא

n p