נוסחת ההסתברות השלמה

Total probability formula / Law of total probability

נוסחת ההסתברות השלמה היא מושג יסוד בתורת ההסתברות.

הנוסחה שימושית במיוחד כאשר ניתן לבנות עץ הסתברויות ולהציג את הניסוי המקרי בשלבים, כלומר: במקרים שבהם אירועים יכולים להיות מושפעים מגורמים או מתנאים שונים. 

חישוב המאורע המבוקש נעשה בעזרת סכום הסתברויות כאשר מכסים את כל האפשרויות שהמאורע יכול להתרחש בהן. 

בעץ הסתברויות מדובר במציאת המסלולים המובילים למאורע המבוקש.

הליכה לאורך מסלול = הכפלת הסתברויות.

הליכה בין מסלולים = סכום הסתברויות.

נוסחת ההסתברות השלמה עבור שני מאורעות

P\left(B\right)=P\left(A\right) \cdot  P\left(B\middle|A\right)+P\left(\bar{A}\right) \cdot P(B|\bar{A})

ניתן להמחיש את הנוסחה בעץ הסתברויות, כאשר הפיצול הראשון הוא לפי המאורע הראשון, A, והפיצולים בשלב השני הם לפי המאורע המבוקש B, כאשר ההסתברויות בפיצול השני הן הסתברויות מותנות.

ניסוח כללי של נוסחת ההסתברות השלמה

  נתונים מאורעות זרים (לא ריקים) שהאיחוד שלהם הוא כל מרחב המדגם:

A_1,\ A_2,\ldots,A_n \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ A_1 \cup\ A_2\ \cup \ldots \cup A_n=\Omega

  ההסתברות של המאורע B :

{P\left(B\right)=P(A}_1)\cdot P(B|\ A_1)+{P(A}_2)\cdot P(B|\ A_2)+\ldots+P(A_n){\cdot P(B|A}_n)

על מה מבוססת נוסחת ההסתברות השלמה?

נוסחת ההסתברות השלמה מבוססת על חוק הכפל לחישוב הסתברות של חיתוך מאורעות, ועל ההסתברות של איחוד מאורעות זרים, השווה לסכום ההסתברויות של המאורעות.

נסביר את המבנה של הנוסחה למקרה הפשוט, שבו מרחב המדגם מחולק לשני מאורעות זרים. ההסבר למקרה הכללי מבוסס על אותם עקרונות.

תזכורת למושגים הנחוצים להבנת נוסחת ההסתברות השלמה :

חוק הכפל לחישוב הסתברות של חיתוך מאורעות

בעבור מאורעות לא ריקים A, B במרחב מדגם נתון, מתקיים:

P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\middle|A\right)

מאורעות זרים

מאורעות זרים הם מאורעות שהחיתוך ביניהם הוא ריק. מאורעות זרים הם מאורעות שלא יכולים להתרחש בו זמנית. 

הסבר על מבנה הנוסחה

המאורע  B כאיחוד של שני מאורעות זרים:

B=\left(A\cap B\right)\cup\left(\bar{A}\cap B\right)

המאורע הראשון באיחוד:

A\cap B

הוא מאורע המתרחש כאשר A וגם B מתרחשים.

המאורע השני באיחוד:

\bar{A}\cap B

הוא מאורע המתרחש כאשר A לא מתרחש ו B מתרחש. 

מסקנה: לא יכול להיות ששני החלקים המרכיבים את B יתרחשו בו זמנית, ולכן מדובר באיחוד של מאורעות זרים.

עבור מאורעות זרים מתקיים שהסתברות האיחוד היא סכום ההסתברויות.

ולכן

P(B)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\bar{A}\cap B\right)

במילים פשוטות: המאורע B מורכב מאיחוד של מאורעות זרים, ולכן ההסתברות השלמה של המאורע B היא סכום של ההסתברויות של המאורעות הזרים המרכיבים אותו. 

עתה, נשתמש בחוק הכפל לכל אחד מהחיתוכים לעיל, ונקבל:

P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\middle|A\right)

P\left(\bar{A}\cap B\right)=P\left(\bar{A}\right)\cdot P\left(B\middle|\bar{A}\right)

נציב ונקבל:

P\left(B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\middle|A\right)+P\left(\bar{A}\right)\cdot P(B|\bar{A})

שימו לב: ניתן גם לחשוב על נוסחת ההסתברות השלמה כעל ממוצע משוקלל של הסתברויות מותנות, כאשר המשקל של כל הסתברות מותנית הוא ההסתברות של המאורע המתנה.

נוסחת בייס Bayes’ rule

נוסחת ההסתברות השלמה קשורה גם לנוסחת בייס. כאשר נתונות הסתברויות מותנות בכיוון מסוים (למשל B בהינתן A), ומעוניינים לחשב את ההסתברות המותנית ״בכיוון ההפוך״ (למשל A בהינתן B). המכנה בנוסחת בייס מחושב לפי נוסחת ההסתברות השלמה.

המקרה הפשוט: כאשר מרחב המדגם מחולק לשני מאורעות זרים

P(A|B)=\frac{P\left(A\ )\cdot P(B|A\right)}{P\left(A\right)\cdot P\left(B\middle|A\right)+P\left(\bar{A}\right)\cdot P(B|\bar{A})}

המקרה הכללי: נתונים מאורעות זרים (לא ריקים) שהאיחוד שלהם הוא כל מרחב המדגם

A_1,\ A_2,\ldots,A_n \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ A_1 \cup\ A_2\ \cup \ldots \cup A_n=\Omega

P\left(A_k\middle|B\right)=\frac{P\left(A_k)\cdot P(B|A_k\right)}{\sum_{j=1}^{n}\ P\left(A_j)\cdot P(B|A_j\right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k=1,\ldots,n

שימו לב: בנוסחת בייס המונה הוא מחובר אחד מתוך כל המחוברים שבמכנה.

איך יודעים מתי להשתמש בנוסחת בייס?

כאשר אנו יודעים לחשב את ההסתברות המותנית בכיוון אחד, אבל השאלה היא על ההסתברות המותנית בכיוון ההפוך (יודעים את ההסתברות של B בהינתן A אבל שואלים על ההסתברות של A בהינתן B).

אז בין אם אתם רוצים ללמוד על נוסחת ההסתברות השלמה, ובין אם אתם רוצים להעמיק את ההבנה שלכם בנושאים נוספים בהסתברות, הקורס שלנו כולל את כל מה שאתם צריכים כבסיס להצלחתכם.

הירשמו עכשיו וגלו את העוצמה של למידה מבוססת אנימציה!

ואגב, אם תזדקקו לעזרה, תוכלו תמיד לפנות אלינו.