התפלגות מעריכית

Exponential distribution

ההתפלגות המעריכית היא מושג מפתח בהסתברות. ההתפלגות המעריכית נקראת גם התפלגות אקספוננציאלית, והיא התפלגות של משתנה מקרי רציף.

מאפיינים

לרוב, משתנה מקרי מעריכי יבטא משך זמן. ישנם שני מצבים נפוצים בהם מתקבלת ההתפלגות המעריכית:

• משך הזמן בין שני אירועים עוקבים בתהליך פואסון.
• משך הזמן של פעולה/תהליך.

דוגמאות נפוצות למשתנה מקרי מעריכי: משך הזמן בין הגעת לקוחות לבנק, משך הזמן בין הגעת מכוניות למוסך, משך הזמן בין רעידות אדמה. משך הזמן של שיחת טלפון, משך הזמן שרכיב אלקטרוני פועל, וכדומה.

הערכים האפשריים של משתנה מקרי מעריכי: כל רצף המספרים מ- 0 עד אינסוף.

סימון:

X\sim exp(\lambda)

הפרמטר של ההתפלגות מסומן באות היוונית למדה.

פונקציית הצפיפות

f(x)=\begin{cases} λe^{-λx} & x\geq 0 \\ 0 & {otherwise}\end{cases} 

פונקציית ההתפלגות המצטברת

F(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1-e^{-\lambda\\t} & t\geq 0\end{cases}

מסקנה:

P\left(X>t\right)=e^{-\lambda t}

התוחלת:

E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda}

השונות:

Var\left(X\right)=\frac{1}{\lambda^2}

תכונת חוסר הזיכרון

Memoryless property

למשתנה מקרי מעריכי יש תכונה ייחודית הנקראת תכונת חוסר הזיכרון.

P(X>s+t\: | \: X>s)=P(X>t)=e^{-\lambda t}\ \ \  \ \ \ for\ \ \ s,t>0

המשמעות של תכונת חוסר הזיכרון: 

נניח שמשך זמן שיחת טלפון מתפלג מעריכית, וידוע שהשיחה נמשכה יותר מ 3 דקות. לפי תכונת חוסר הזיכרון, ההסתברות כי השיחה תימשך יותר מ 8 דקות זהה להסתברות הלא מותנית, שמשך השיחה מתחילתה יהיה יותר מ 5 דקות. כלומר: מכל נקודת זמן במהלך השיחה, התפלגות משך הזמן הנותר נשארת מעריכית, ואינה מושפעת ממשך השיחה עד אותה נקודת זמן.

תכונת חוסר הזיכרון מתקיימת בשתי התפלגויות בלבד:

התפלגות גיאומטרית היא ההתפלגות הבדידה היחידה המקיימת את תכונת חוסר הזיכרון.

התפלגות מעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה המקיימת את תכונת חוסר הזיכרון.

הקשר בין התפלגות מעריכית להתפלגות פואסונית

בתהליך פואסון אפשר להתעניין במספר האירועים המתרחשים בפרק זמן או במשך הזמן העובר בין שני אירועים עוקבים.

המשתנה המקרי הפואסוני סופר את מספר האירועים המתרחשים בפרק זמן.

המשתנה המקרי המעריכי מודד את משך הזמן החולף בין שני אירועים עוקבים.

להלן טבלה עם ההבדלים בין שתי ההתפלגויות (פואסונית ומעריכית) בהקשר של תהליך פואסון:

התפלגות מעריכית נפוצה מאוד בתורת התורים. במודלים הפשוטים מניחים כי משך הזמן הבין מופעי מתפלג מעריכית, וכי משך השירות מעריכי גם כן. תכונת חוסר הזיכרון של ההתפלגות המעריכית מאפשרת להגיע לנוסחאות פשוטות ולחישובים קלים יחסית.

אז בין אם אתם רוצים ללמוד על ההתפלגות המעריכית ובין אם אתם רוצים להעמיק את ההבנה שלכם בנושאים נוספים בהסתברות, הקורס שלנו כולל את כל מה שאתם צריכים כבסיס להצלחתכם.

הירשמו עכשיו וגלו את העוצמה של למידה מבוססת אנימציה!

ואגב, אם תזדקקו לעזרה, תוכלו תמיד לפנות אלינו.